大学数学题：探索极限与连续性

在大学的数学课程中，极限和连续性是非常重要的基本概念，它们为我们理解微积分的本质提供了坚实的基础。以下是一道涉及极限与连续性的题目，旨在考察学生对这些概念的理解及其应用。

题目：

已知函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$，请求解以下问题：

1. 证明 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处存在极限，并求出极限值。

2. 判断 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处是否连续，并给出理由。

解析：

1. 证明极限存在并求极限值：

首先，我们要考察 $\lim_{x \to 1} f(x)$ 是否存在。函数的表达式是 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$，显然，当 $x = 1$ 时，分母为零。为了处理这个问题，我们可以对分子进行因式分解：

$$

x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)

$$

于是，函数 $f(x)$ 可以重写为：

$$

f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}

$$

在 $x \neq 1$ 时，可以约去 $x - 1$ 这一项，得到：

$$

f(x) = x + 1 \quad \text{(当} \, x \neq 1\text{)}

$$

因此，我们可以求得极限：

$$

\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2

$$

因此，$f(x)$ 在 $x = 1$ 处的极限值为 2。

2. 判断函数在 $x = 1$ 处是否连续：

为了判断函数是否在 $x = 1$ 处连续，我们需要检查三个条件：

函数在该点有定义。

极限存在。

极限值与函数值相等。

首先，我们已经知道 $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$，但注意到，函数 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处并没有定义，因为直接代入 $x = 1$ 会导致分母为零。因此，$f(x)$ 在 $x = 1$ 处并没有定义。

因为函数在该点没有定义，故函数 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处不连续。

通过这道题，我们可以看到极限与连续性如何互相关联，也展现了在实际应用中，如何通过代数运算化简并分析函数行为。